Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{5a^2 \left(b c\right)^2}} \frac{b}{\sqrt{5b^2 \left(a c\right)^2}} \frac{c}{\sqrt{5c^2 \left(b a\right)^2}}\le1$với a,b,c thực dươngGiúp em vs ạ!

NT

Nguyễn Trần Trung Dũng

8 tháng 3 2020

dễ thế mà ko làm dc à ngu vậy má

KN

Kiệt Nguyễn

5 tháng 5 2020

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$

4

T

tth_new

7 tháng 5 2020

$\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{3a^3}{\left[5a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b+c\right)}}\le1$

Theo Am-GM: $VT=\Sigma\sqrt{\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}.\frac{a}{a+b+c}}\le\Sigma\frac{3a^2}{2\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\frac{1}{2}$

Như vậy nó là đủ để chứng minh rằng: $\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1$

Giả sử $c=min\left\{a,b,c\right\}$ nó tương đương:

$2\, \left( a-b \right) ^{2} \left( 3\,c+a+b \right) \left( -c+a+b \right) \left( {a}^{2}+2\,ab+{b}^{2}+5\,{c}^{2} \right) +2\,c \left( a-c \right) \left( b-c \right) \left( 3\,{a}^{3}+9\,{a}^{2}b +17\,c{a}^{2}+9\,a{b}^{2}-20\,abc+3\,{c}^{2}a+3\,{b}^{3}+17\,c{b}^{2}+ 3\,{c}^{2}b+{c}^{3} \right) \geqq 0$

(Gõ Latex, không hiện thì vô thống kê hỏi đáp xem)

Đây là điều hiển nhiên/

PS: Bài này quan trọng là ý tưởng phá căn thôi chứ không có gì khó. Lúc đầu UCT bất đẳng thức cuối cho đẹp nhưng phải xét các TH mệt lắm, chưa rành nên không làm cách đó:D

T

tth_new

7 tháng 5 2020

Chứng minh: $\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1$, cách 2:

Đổi biến sang pqr: (Vô thống kê hỏi đáp xem nếu olm không hiện Latex)

Nếu $p^2\le4q$ ta cần:

$2/9\,p \left( 19\,{p}^{2}-36\,q \right) \left( {p}^{3}-4\,qp+9\,r \right) -4/9\, \left( {p}^{2}-3\,q \right) \left( {p}^{2}-4\,q \right) \left( 5\,{p}^{2}-3\,q \right) \geqq 0$

(Hiển nhiên)

Nếu $p^2\ge4q$ thì cần chứng minh:

$2\,p \left( 19\,{p}^{2}-36\,q \right) r+2\, \left( {p}^{2}-4\,q \right) \left( {p}^{4}-2\,{q}^{2} \right) \geqq 0$

(Hiển nhiên)

Từ 2 TH trên ta thu được điều phải chứng minh.

Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:$\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1$.Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh...

MN

Manh Nhu

29 tháng 2 2020

cho ba số thực dương a,b,c. cmr : $\sqrt[3]{5a^2b+3}+\sqrt[3]{5b^2c+3}+\sqrt[3]{5c^2a+3}\le\frac{21}{12}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

help me!

#Toán lớp 10

0

TN

Tiến Nguyễn Minh

21 tháng 10 2019

#Toán lớp 8

8

VT

Vũ Tiến Manh

21 tháng 10 2019

1) Áp dụng bunhiacopxki ta được $\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc$, tương tự với các mẫu ta được vế trái $\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>$$1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>$

$\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1$<=> $\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1$ (1)

áp dụng (x² +y² +z²)(m²+n²+p²) $\ge\left(xm+yn+zp\right)^2$

(2a²bc +b²c² + 2b²ac+a²c² + 2c²ab+a²b²). VT$\ge\left(bc+ca+ab\right)^2$ <=> (ab+bc+ca)². VT $\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1$ ( vậy (1) đúng)

dấu '=' khi a=b=c

HF

HD Film

21 tháng 10 2019

4b, $\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}$

$\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}$

Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh $\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}$Bài 3: Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le...

DT

Đinh Thị Ngọc Anh

18 tháng 9 2016

1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}$ 2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng $1\le x\le\frac{7}{3}$ 3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng$\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1$ 4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng...

0

NT

Nghiêm Thị Nhân Đức

25 tháng 2 2020

1

CM

Copxki Minh

2 tháng 12 2020

Đặt $\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)$

$x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}$

$\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}$

$\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)$

$\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z

1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr $\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}$2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr $\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}$3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr $\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}$4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr $\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1$5) Cho a,b,c>0....

KS

Kudo Shinichi

2 tháng 7 2016

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng$:$ $$ \frac 1{8 + 5(b^2 + c^2)} + \frac 1{8 + 5(c^2 + a^2)} + \frac 1{8 + 5(a^2 + b^2)}\le \frac 1{6},$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b=\frac{c}{13}$ và các hoán vị. Ji Chen đưa ra một kiểu SOS rất khủng$:$...

0

T

tthnew

26 tháng 6 2020

0

T

tth_new

26 tháng 6 2020

t chuyên Anh mà:v

L

lalallalalalla

26 tháng 6 2020

tth_newrì lí.-. thế lm Toán giỏi phết.Toàn cho mấy bài toán hack não không.Để tìm lại cái não đã bị hack r

KA

Kurosaki Akatsu

24 tháng 6 2017

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng : $\frac{1}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(b^2+bc+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(c^2+ca+a^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}}\ge4+\frac{8}{\sqrt{3}}$

Cộng tác viên giúp với !

2

TN

Thắng Nguyễn

25 tháng 6 2017

ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng

AN

alibaba nguyễn

26 tháng 6 2017

Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.

KN

Kiệt Nguyễn

12 tháng 12 2020

Câu hỏi hay

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$.

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{b+c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{c+a}{\sqrt{c}+\sqrt{a}}\le4\left(\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}-1\right)^2}{\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}-1\right)^2}{\sqrt{a}}\right)$

3

HB

Hồ Bích Ngọc

13 tháng 12 2020

hello nha

HB

Hồ Bích Ngọc

13 tháng 12 2020

2k? vậy ạ